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飞艇高手 飞艇高手 发表于2025-03-08 10:14:00 浏览887 评论0

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:直线与平面垂直吗？要判断一条直线是否垂直于一个平面，可以按照以下步骤进行：### 1. **确定直线和平面的方程** - 设直线的方程为： \[ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} \] 其中，\((x_0, y_0, z_0)\) 是直线上的点，\((l, m, n)\) 是直线的方向向量。 - 设平面的方程为： \[ ax + by + cz + d = 0 \] 其中，\((a, b, c)\) 是平面的法向量。### 2. **计算直线与平面的法向量的关系** - 直线垂直于平面的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行，即： \[ (l, m, n) \parallel (a, b, c) \] - 这意味着存在一个常数 \(k\)，使得： \[ l = k a \\ m = k b \\ n = k c \]### 3. **验证条件** - 如果存在这样的常数 \(k\)，则直线垂直于平面；否则，不垂直。### 4. **总结** - **结论**：一条直线垂直于一个平面，当且仅当该直线的方向向量与平面的法向量平行。### 具体例子例如，直线方向向量为 \((2, -3, 4)\)，平面的法向量为 \((1, -1.5, 2)\)。可以看出，方向向量是法向量的2倍，即：\[(2, -3, 4) = 2 \times (1, -1.5, 2)\]因此，这条直线垂直于该平面。

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